¿Qué es un fractal?.

                                                Historia

La expresión fractal viene del latín fractus, que significa fracturado, roto, irregular. La expresión y el concepto se atribuyen al matemático Benoit B. Mandelbrot, y aparecen como tal a finales de la década de los setenta y principios de los ochenta (Mandelbrot, 1977 y 1982). Anteriormente, los matemáticos Cantor y Peano, entre otros, definen objetos catalogables dentro de esta categoría, pero no son reconocidos como tales.
    

                                                                  Características

Si un objeto fractal lo aumentamos, los elementos que aparecen vuelven a tener el mismo aspecto independientemente de cual sea la escala que utilizamos, y formando parte, como en un mosaico de los elementos mayores. Es decir estos elementos tienen una estructura geométrica recursiva. Si observamos dos fotografías de un objeto fractal con escalas diferentes (una en metros y otra en milímetros, por ejemplo) sin nada que sirva de referencia para ver cual es el tamaño, resultaría difícil decir cual es de las ampliaciones es mayor o si son distintas. Los fractales desde su formulación tuvieron una práctica de servir como modelos para explicar la naturaleza. Fue el propio Benoit Mandelbrot quién tuvo el mérito de intuir la potencia de los fractales para construir modelos que explicasen la realidad, desde un inicio Mandelbrot, se dedicó al problema de medir la costa de Gran Bretaña usándolo.

Familias de fractales: el conjunto de Mandelbrot

La familia de conjuntos de Julia , asociadas a la reiteración de funciones de la forma  presenta conjuntos de una variedad sorprendente.

Dicha familia tendrá especial relevancia al quedar parametrizada en un mapa de fractales, popularizado en los años 1980. llamado conjunto de Mandelbort . Este conjunto M representa un mapa en que cada pixel, correspondiente a un valor del parámetro , se colorea de modo que refleje una propiedad básica del conjunto de Julia asociado a . En concreto,  si el conjunto de Julia asociado a  es conexo.

Iterando funciones de forma alternativa se generan los fractales oscilantes.

El método de Mandelbrot: diferentes fractales iterando potencias de

A continuación se muestra una serie de fractales de las diferentes potencias de Z = Z^m + C , según el método de Mandelbrot. Todos los puntos del plano complejo C=(Cx,iCy) son iterados por adición a la función correspondiente. Todas las iteraciones parten de los puntos x=0 iy=0. Cuando la iteración converge se colorea de amarillo pálido. La divergencia a infinito es coloreada mediante un patrón cromático desde el negro al azul. El fractal derivado de la función Z = Z² + C se denomina conjunto de Mandelbort.

Ejemplos de fractales del tipo Mandelbrot Z = Z^m + 

Referencias: http://www.ub.edu/matefest_infofest2011/triptics/fractal.pdf